਀ ਀㰀栀攀愀搀㸀 ਀ऀ㰀琀椀琀氀攀㸀㄀⸀㌀⸀㄀㰀⼀琀椀琀氀攀㸀 ਀ ਀ Предыдущая਀㰀䄀 栀爀攀昀㴀∀搀漀挀㌀㈀⸀栀琀洀∀㸀℀㬄㔄㐄䌄丄䤄〄伄㰄⼀愀㸀 Содержание਀㰀栀爀㸀

Глава 1.3. УСЛОВИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ СИСТЕМ СИЛ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ ЭТОГО УСЛОВИЯ

਀㰀䠀㐀 愀氀椀最渀㴀∀挀攀渀琀攀爀∀㸀      ꜀㄀⸀㌀⸀㄀⸀⌀䄄㬄㸄㈄㠄㔄 䴀㨄㈄㠄㈄〄㬄㔄㴄䈄㴄㸄䄄䈄㠄 䄀㠄䄄䈄㔄㰄 䄀㠄㬄 㰀⼀䠀㐀㸀

਀㰀倀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀㰀䔀䴀㸀᐀㈄㔄 䄀㠄䄄䈄㔄㰄䬄 䄀㠄㬄 㴀〄㜄䬄㈄〄丄䈄 䴀㨄㈄㠄㈄〄㬄㔄㴄䈄㴄䬄㰄㠄Ⰴ 㔀䄄㬄㠄 㸀㴄㠄Ⰴ ㄀䌄㐄䌄䜄㠄 㼀䀄㠄㬄㸄㘄㔄㴄䬄 㼀㸄䀄㸄㜄㴄䰄 㨀  ㄄䄄㸄㬄丄䈄㴄㸄 䈀㈄㔄䀄㐄㸄㰄䌄 䈀㔄㬄䌄 ㈀䬄㜄㸄㈄䌄䈄 㸀㐄㠄㴄〄㨄㸄㈄㸄㔄 㐀㔄㤄䄄䈄㈄㠄㔄⸄㰀⼀䔀䴀㸀㰀⼀倀㸀

Теорема. Для эквивалентности двух систем сил необходимо и достаточно, чтобы были равны их ਀                         ㌀㬄〄㈄㴄䬄㔄 ㈀㔄㨄䈄㸄䀄䬄 㠀 ㌀㬄〄㈄㴄䬄㔄 㰀㸄㰄㔄㴄䈄䬄 㸀䈄㴄㸄䄄㠄䈄㔄㬄䰄㴄㸄 㼀䀄㸄㠄㜄㈄㸄㬄䰄㴄㸄㤄 䈀㸄䜄㨄㠄⸄㰀⼀䔀䴀㸀㰀⼀倀㸀

Для удобства доказательства введем сокращенные обозначения систем сил. Вместо системы ਀                   㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀⠀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀㄀㰀⼀匀唀䈀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀Ⰰ㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀㈀㰀⼀匀唀䈀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀Ⰰ ☀Ⱐ Fn ) будем писать(F),਀                   ㈀㰄㔄䄄䈄㸄 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀⠀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀倀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀㄀㰀⼀匀唀䈀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀Ⰰ 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀倀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀㈀㰀⼀匀唀䈀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀Ⰰ ☀Ⱐ (Pn ) писать(P), вместо ਀                   ⠀ⴀ㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀㄀㰀⼀匀唀䈀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀Ⰰ ⴀ㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀㈀㰀⼀匀唀䈀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀Ⰰ ☀Ⱐ -Fn) писать (-F). ਀                   ℀㸄㸄䈄㈄㔄䈄䄄䈄㈄䌄丄䤄㠄㔄 ㌀㬄〄㈄㴄䬄㔄 ㈀㔄㨄䈄㸄䀄䬄 㠀 ㌀㬄〄㈄㴄䬄㔄 㰀㸄㰄㔄㴄䈄䬄 ㄀䌄㐄㔄㰄 㸀㄄㸄㜄㴄〄䜄〄䈄䰄  㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀Ⰰ FequO(P), FequO(-F),਀                   㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䴀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀Ⰰ 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀⠀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䴀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀倀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀Ⰰ MequO(-F). Очевидно਀  㰀琀愀戀氀攀 戀漀爀搀攀爀㴀∀ ∀ 眀椀搀琀栀㴀∀㄀  ─∀㸀 ਀                   㰀倀 愀氀椀最渀㴀∀挀攀渀琀攀爀∀㸀 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀ⴀ䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 㴀  ਀   㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀ⴀ䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀㄀㰀⼀匀唀䈀㸀Ⰰ -F2 ... -Fn =਀                   ⴀ ⠀ 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀㄀㰀⼀匀唀䈀㸀 ⬀  㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀㈀㰀⼀匀唀䈀㸀⸀⸀⸀⬀ Fn) = - FequO(F);

਀                   㰀倀 愀氀椀最渀㴀∀挀攀渀琀攀爀∀㸀 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䴀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀ⴀ䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 㴀 ᄀ•㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䴀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀伀⠀ⴀ䘀欀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 㴀 ∑[rkx(-Fk)]= ਀                   ⴀ ᄀ⠢㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀爀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀欀㰀⼀匀唀䈀㸀砀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀欀㰀⼀匀唀䈀㸀⤀ 㴀 -∑MO(Fk) = - MequO(F).਀                   㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀

Поскольку каждые две силы Fk и - Fk приложены в одной точке, то

਀    㰀琀愀戀氀攀 戀漀爀搀攀爀㴀∀ ∀ 眀椀搀琀栀㴀∀㄀  ─∀㸀 ਀                   㰀倀 愀氀椀最渀㴀∀挀攀渀琀攀爀∀㸀 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀ⴀ䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 ⬀  㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 㴀  ਀   㬀㰀⼀倀㸀

MequO(-F) + MequO(F) = 0,

਀                    㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀 愀氀椀最渀㴀∀爀椀最栀琀∀㸀⠀㰀䔀䴀㸀愀㰀⼀䔀䴀㸀⤀㰀⼀琀搀㸀㰀⼀琀爀㸀㰀⼀琀愀戀氀攀㸀䈀㸄 㔀䄄䈄䰄 ㌀㬄〄㈄㴄䬄㤄 ㈀㔄㨄䈄㸄䀄 㠀 ㌀㬄〄㈄㴄䬄㤄 㰀㸄㰄㔄㴄䈄 䄀㠄䄄䈄㔄㰄䬄 䄀㠄㬄 ⠀ 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀Ⰰ  㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀ⴀ䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀⤀ 䀀〄㈄㴄䬄 㴀䌄㬄丄⸄ ℀㬄㔄㐄㸄㈄〄䈄㔄㬄䰄㴄㸄Ⰴ  согласно теореме о равновесии, система сил ( ਀                           㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀Ⰰ  㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀ⴀ䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀⤀ 㴀〄䔄㸄㐄㠄䈄䄄伄 ㈀ 䀀〄㈄㴄㸄㈄㔄䄄㠄㠄㨄 

਀  㰀琀愀戀氀攀 戀漀爀搀攀爀㴀∀ ∀ 眀椀搀琀栀㴀∀㄀  ─∀㸀 ਀                   㰀倀 愀氀椀最渀㴀∀挀攀渀琀攀爀∀㸀 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀⠀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀Ⰰ 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀ⴀ䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀⤀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀 Ḁ• ⸀㰀⼀倀㸀   (б)਀                                            

Переходим к доказательству теоремы. ਀      㰀䔀䴀㸀᐀㸄㨄〄㜄〄䈄㔄㬄䰄䄄䈄㈄㸄 㴀㔄㸄㄄䔄㸄㐄㠄㰄㸄䄄䈄㠄丄㰄⼀䔀䴀㸀       ᐀〄㴄㸄Ⰴ 䜀䈄㸄 㐀㈄㔄 䄀㠄䄄䈄㔄㰄䬄 䴀㨄㈄㠄㈄〄㬄㔄㴄䈄㴄䬄㨄 㰀⼀倀㸀 ਀㰀琀爀㸀㰀琀搀 眀椀搀琀栀㴀∀㄀  ─∀ 愀氀椀最渀㴀∀洀椀搀搀氀攀∀㸀

(F) ∞P).

਀                    㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀 愀氀椀最渀㴀∀爀椀最栀琀∀㸀⠀㰀䔀䴀㸀㈀㰄⼀䔀䴀㸀⤀㰀⼀琀搀㸀㰀⼀琀爀㸀㰀⼀琀愀戀氀攀㸀  

Надо доказать равенство главных векторов и главных моментов этих систем сил относительно некоторой точки.

਀㰀倀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ᜀ〄㰄㔄㴄㠄㰄 ㈀ 䌀䄄㬄㸄㈄㠄㠄 ⠀㰀䔀䴀㸀㄀㰄⼀䔀䴀㸀    ⤀ 䄀㠄䄄䈄㔄㰄䌄 䄀㠄㬄 ⠀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀䘀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀㰀⼀猀瀀愀渀㸀⤀ 䄀㠄䄄䈄㔄㰄㸄㤄 䄀㠄㬄 ⠀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀倀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀㰀⼀猀瀀愀渀㸀⤀Ⰰ 䜀䈄㸄 㰀㸄㘄㴄㸄  сделать согласно условию (в). Тогда имеем уравновешенную систему ਀      䄀㠄㬄 ⠀㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀 ਀                    㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀倀㰀⼀猀瀀愀渀㸀Ⰰ ⴀ 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀⤀⸀ ℀㸄㌄㬄〄䄄㴄㸄 䈀㔄㸄䀄㔄㰄㔄 㸀  равновесии, главный вектор и главный момент последней системы сил должен ਀      ㄀䬄䈄䰄 䀀〄㈄㔄㴄 㴀䌄㬄丄⸄ ∀㸄㌄㐄〄Ⰴ 㠀䄄㼄㸄㬄䰄㜄䌄伄 䌀䀄〄㈄㴄㔄㴄㠄伄 ⠀㰀䔀䴀㸀 㰄⼀䔀䴀㸀     ), находим:

਀     㰀琀愀戀氀攀 戀漀爀搀攀爀㴀∀ ∀ 眀椀搀琀栀㴀∀㄀  ─∀㸀
਀                   㰀倀 愀氀椀最渀㴀∀挀攀渀琀攀爀∀㸀 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀倀Ⰰⴀ䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 㴀 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀倀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 + FequO(-F) = FequO(P) ਀                   ⴀ 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 㴀  㬀㰀⼀倀㸀

MequO(P,-F) = MequO(P) + MequO(-F) = MequO(P) - MequO(F) = ਀   0.

਀㰀倀 愀氀椀最渀㴀∀氀攀昀琀∀㸀Ḁ䈄䄄丄㐄〄 㰀⼀倀㸀 ਀㰀琀爀㸀㰀琀搀 眀椀搀琀栀㴀∀㄀  ─∀ 愀氀椀最渀㴀∀洀椀搀搀氀攀∀㸀㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀 FequO(P) =਀                   㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀㬀 㰀戀爀㸀 MequO(P) =਀                   㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䴀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀⸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀 
(г)
਀㰀倀 愀氀椀最渀㴀∀氀攀昀琀∀㸀䜀䈄㸄 㠀 䈀䀄㔄㄄㸄㈄〄㬄㸄䄄䰄 㐀㸄㨄〄㜄〄䈄䰄⸄                   

Доказательство достаточности. Дано условие ਀      ⠀㰀䔀䴀㸀㌀㰄⼀䔀䴀㸀   ⤀Ⰰ 䈀㸄 㔀䄄䈄䰄 㐀〄㴄㸄Ⰴ 䜀䈄㸄 ㌀㬄〄㈄㴄䬄㔄 ㈀㔄㨄䈄㸄䀄䬄 㠀 ㌀㬄〄㈄㴄䬄㔄 㰀㸄㰄㔄㴄䈄䬄 㐀㈄䌄䔄 䄀㠄䄄䈄㔄㰄 䄀㠄㬄  (P) и (F) соответственно ਀      䀀〄㈄㴄䬄⸄ ᴀ〄㐄㸄 㐀㸄㨄〄㜄〄䈄䰄Ⰴ 䜀䈄㸄 䴀䈄㠄 䄀㠄䄄䈄㔄㰄䬄 䄀㠄㬄 䴀㨄㈄㠄㈄〄㬄㔄㴄䈄㴄䬄Ⰴ 䈀㸄 㔀䄄䈄䰄 㴀〄㐄㸄  доказать условие (в ਀                               ⤀㨀㰀⼀倀㸀

(P) ∞ (F).

਀㰀倀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀  〄䄄䄄㰄㸄䈄䀄㠄㰄 䄀㠄䄄䈄㔄㰄䌄 䄀㠄㬄 ⠀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀ⴀ䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀Ⰰ 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀倀㰀⼀猀瀀愀渀㸀⤀ 㠀Ⰴ  учитывая (а) и (г ਀                      ⤀Ⰰ 㼀㸄㬄䌄䜄㠄㰄 㔀億 ㌀㬄〄㈄㴄䬄㤄 ㈀㔄㨄䈄㸄䀄 㠀 ㌀㬄〄㈄㴄䬄㤄 㰀㸄㰄㔄㴄䈄 䀀〄㈄㴄䬄 㴀䌄㬄丄⸄  Другими словами, эта система сил находится в равновесии:਀                   㰀倀 愀氀椀最渀㴀∀挀攀渀琀攀爀∀㸀 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀倀Ⰰⴀ䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 㴀  ਀  㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀倀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 + FequO(-F) = - FequO(F) ਀                   ☀渀戀猀瀀㬀⬀ 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀倀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 㴀  㬀㰀⼀倀㸀

MequO(P,-F) = MequO(P) + ਀                   㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䴀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀ⴀ䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 㴀 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䴀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀倀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 - MequO(F) = 0.

਀ 㰀倀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ἀ㸄䴄䈄㸄㰄䌄 ⠀ 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀   ⴀ㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀Ⰰ 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀倀㰀⼀猀瀀愀渀㸀⤀⸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀  ℀㸄㌄㬄〄䄄㴄㸄 䈀䀄㔄䈄䰄㔄㤄  㨄䄄㠄㸄㰄㔄Ⰴ 㼀䀄㠄䄄㸄㔄㐄㠄㴄㠄㰄 㨀 䄀㠄䄄䈄㔄㰄㔄  (F) уравновешенную ਀      䄀㠄䄄䈄㔄㰄䌄 䄀㠄㬄 ⠀ⴀ㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀     㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀Ⰰ 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀倀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀⤀Ⰰ   㜀〄䈄㔄㰄 㠀䄄㨄㬄丄䜄㠄㰄  уравновешенную систему сил ਀                           ⠀ⴀ㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀Ⰰ 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀⤀⸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀 Тогда получим:

਀ 㰀倀 愀氀椀最渀㴀∀挀攀渀琀攀爀∀㸀㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀 ⠀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀⤀ Ḁ•⠀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀Ⰰ -F, P) ∞(P),

਀                                                         

что и требовалось доказать.

਀    㰀倀㸀㰀⼀倀㸀㰀⼀琀爀㸀㰀⼀倀㸀                     ਀ ਀㰀⼀栀琀洀氀㸀 �