㰀栀攀愀搀㸀 ऀ㰀琀椀琀氀攀㸀⸀㌀⸀㰀⼀琀椀琀氀攀㸀
Предыдущая㰀䄀 栀爀攀昀㴀∀搀漀挀㌀㈀⸀栀琀洀∀㸀℀㬄㔄㐄䌄丄䤄〄伄㰄⼀愀㸀 Содержание㰀栀爀㸀Теорема. Для эквивалентности двух систем сил необходимо и достаточно, чтобы были равны их ㌀㬄〄㈄㴄䬄㔄 ㈀㔄㨄䈄㸄䀄䬄 㠀 ㌀㬄〄㈄㴄䬄㔄 㰀㸄㰄㔄㴄䈄䬄 㸀䈄㴄㸄䄄㠄䈄㔄㬄䰄㴄㸄 㼀䀄㸄㠄㜄㈄㸄㬄䰄㴄㸄㤄 䈀㸄䜄㨄㠄⸄㰀⼀䔀䴀㸀㰀⼀倀㸀
Для удобства доказательства введем сокращенные обозначения систем сил. Вместо системы 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀⠀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀㰀⼀匀唀䈀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀Ⰰ㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀㈀㰀⼀匀唀䈀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀Ⰰ ☀Ⱐ
Fn ) будем писать(F), ㈀㰄㔄䄄䈄㸄 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀⠀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀倀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀㰀⼀匀唀䈀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀Ⰰ 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀倀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀㈀㰀⼀匀唀䈀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀Ⰰ ☀Ⱐ
(Pn ) писать(P), вместо ⠀ⴀ㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀㰀⼀匀唀䈀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀Ⰰ ⴀ㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀㈀㰀⼀匀唀䈀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀Ⰰ ☀Ⱐ
-Fn) писать (-F). ℀㸄㸄䈄㈄㔄䈄䄄䈄㈄䌄丄䤄㠄㔄 ㌀㬄〄㈄㴄䬄㔄 ㈀㔄㨄䈄㸄䀄䬄 㠀 ㌀㬄〄㈄㴄䬄㔄 㰀㸄㰄㔄㴄䈄䬄 䌄㐄㔄㰄 㸀㸄㜄㴄〄䜄〄䈄䰄 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀Ⰰ
FequO(P), FequO(-F), 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䴀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀Ⰰ 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀⠀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䴀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀倀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀Ⰰ
MequO(-F). Очевидно 㰀琀愀戀氀攀 戀漀爀搀攀爀㴀∀ ∀ 眀椀搀琀栀㴀∀ ─∀㸀
Поскольку каждые две силы Fk и - Fk приложены в одной точке, то MequO(-F) + MequO(F) = 0, Переходим к доказательству теоремы. 㰀䔀䴀㸀᐀㸄㨄〄㜄〄䈄㔄㬄䰄䄄䈄㈄㸄 㴀㔄㸄䔄㸄㐄㠄㰄㸄䄄䈄㠄丄㰄⼀䔀䴀㸀 ᐀〄㴄㸄Ⰴ 䜀䈄㸄 㐀㈄㔄 䄀㠄䄄䈄㔄㰄䬄 䴀㨄㈄㠄㈄〄㬄㔄㴄䈄㴄䬄㨄 㰀⼀倀㸀
(F) ∞P). Надо доказать равенство главных векторов и главных моментов этих систем сил относительно некоторой точки. MequO(P,-F) = MequO(P) + MequO(-F) = MequO(P) - MequO(F) =
0. Доказательство достаточности. Дано условие ⠀㰀䔀䴀㸀㌀㰄⼀䔀䴀㸀 ⤀Ⰰ 䈀㸄 㔀䄄䈄䰄 㐀〄㴄㸄Ⰴ 䜀䈄㸄 ㌀㬄〄㈄㴄䬄㔄 ㈀㔄㨄䈄㸄䀄䬄 㠀 ㌀㬄〄㈄㴄䬄㔄 㰀㸄㰄㔄㴄䈄䬄 㐀㈄䌄䔄 䄀㠄䄄䈄㔄㰄 䄀㠄㬄
(P) и (F) соответственно 䀀〄㈄㴄䬄⸄ ᴀ〄㐄㸄 㐀㸄㨄〄㜄〄䈄䰄Ⰴ 䜀䈄㸄 䴀䈄㠄 䄀㠄䄄䈄㔄㰄䬄 䄀㠄㬄 䴀㨄㈄㠄㈄〄㬄㔄㴄䈄㴄䬄Ⰴ 䈀㸄 㔀䄄䈄䰄 㴀〄㐄㸄
доказать условие (в ⤀㨀㰀⼀倀㸀
(P) ∞ (F). MequO(P,-F) = MequO(P) + 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䴀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀ⴀ䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 㴀 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䴀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀倀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀
- MequO(F) = 0. что и требовалось доказать. 㰀倀 愀氀椀最渀㴀∀挀攀渀琀攀爀∀㸀 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀ⴀ䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 㴀
㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀ⴀ䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀㰀⼀匀唀䈀㸀Ⰰ
-F2 ... -Fn = ⴀ ⠀ 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀㰀⼀匀唀䈀㸀 ⬀ 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀㈀㰀⼀匀唀䈀㸀⸀⸀⸀⬀
Fn) = - FequO(F); 㰀倀 愀氀椀最渀㴀∀挀攀渀琀攀爀∀㸀 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䴀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀ⴀ䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 㴀 ᄀ•㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䴀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀伀⠀ⴀ䘀欀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 㴀
∑[rkx(-Fk)]= ⴀ ᄀ⠢㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀爀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀欀㰀⼀匀唀䈀㸀砀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀欀㰀⼀匀唀䈀㸀⤀ 㴀
-∑MO(Fk) = - MequO(F). 㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀
㰀倀 愀氀椀最渀㴀∀挀攀渀琀攀爀∀㸀 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀ⴀ䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 ⬀ 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 㴀
㬀㰀⼀倀㸀
㰀倀㸀㰀⼀倀㸀㰀⼀琀爀㸀㰀⼀倀㸀
㰀⼀栀琀洀氀㸀
�
㰀倀 愀氀椀最渀㴀∀挀攀渀琀攀爀∀㸀 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀⠀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀Ⰰ 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀ⴀ䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀⤀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀 Ḁ• ⸀㰀⼀倀㸀
(б) 㰀琀爀㸀㰀琀搀 眀椀搀琀栀㴀∀ ─∀ 愀氀椀最渀㴀∀洀椀搀搀氀攀∀㸀
㰀倀 愀氀椀最渀㴀∀氀攀昀琀∀㸀Ḁ䈄䄄丄㐄〄 㰀⼀倀㸀
㰀倀 愀氀椀最渀㴀∀挀攀渀琀攀爀∀㸀 㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀倀Ⰰⴀ䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 㴀 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀倀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀
+ FequO(-F) = FequO(P) ⴀ 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀 㴀 㬀㰀⼀倀㸀
㰀琀爀㸀㰀琀搀 眀椀搀琀栀㴀∀ ─∀ 愀氀椀最渀㴀∀洀椀搀搀氀攀∀㸀㰀䔀䴀㸀㰀匀吀刀伀一䜀㸀
FequO(P) = 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䘀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀㬀 㰀戀爀㸀
MequO(P) = 㰀猀瀀愀渀 猀琀礀氀攀㴀∀吀䔀堀吀ⴀ䐀䔀䌀伀刀䄀吀䤀伀一㨀 漀瘀攀爀氀椀渀攀∀㸀䴀㰀⼀猀瀀愀渀㸀㰀匀唀䈀㸀攀焀甀伀⠀䘀⤀㰀⼀匀唀䈀㸀⸀㰀⼀匀吀刀伀一䜀㸀㰀⼀䔀䴀㸀
㰀倀 愀氀椀最渀㴀∀氀攀昀琀∀㸀䜀䈄㸄 㠀 䈀䀄㔄㸄㈄〄㬄㸄䄄䰄 㐀㸄㨄〄㜄〄䈄䰄⸄
(г)