ГЛАВА  2. 7

                ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И РАСЧЕТЫ НА ЖЕСТКОСТЬ

                        § 2. 7.1. Определение перемещений методом Мора

Кроме расчета на прочность в ряде случаев элементы конструкции должны быть рассчитаны и на жесткость. Например, рассчитывая вал, установленный в подшипниках и передающий вращение от двигателя к технологической машине посредством зубчатой пары, конструктор должен обеспечить минимальные углы поворота сечений вала, расположенных в плоскости установки подшипников, чтобы избежать возможного в них защемления вала. Кроме того, конструктор должен обеспечить минимальный прогиб се­чения вала под зубчатым колесом, чтобы избежать прежде­временного выхода из строя зубчатой пары. В металлорежу­щих станках значительные упругие перемещения снижают точность обработки и качество поверхности детали. В от-счетных механизмах упругие перемещения снижают точ­ность измерений. Иногда в техническом задании на проекти­рование упругого элемента задается перемещение характер­ных сечений и требуется, чтобы была обеспечена прочность и долговечность. В этом случае по известным перемещениям определяют напряжения в конструкции.

Расчет на жесткость элемента конструкции, имеющего форму бруса, заключается в определении наибольших уг­ловых и линейных упругих перемещений его поперечных сечений при заданной нагрузке и сопоставлении их с допу­скаемыми, зависящими от назначения и условий эксплуата­ции данного элемента. Иными словами условие жесткости можно  выразить   неравенством

                         δ ≤ δ adm ,              φ ≤ φ adm ,                                 (54)

где δ и φ  — линейное и угловое перемещения рассматривае.могосечения, возникаю­щие под нагрузкой, а δ _adm и      φ _adm -  допускаемые значения перемещений, назначаемые конструктором. Допускае­мые значения упругих пе­ремещений зависят от кон­кретных требований к кон­струкции и устанавливают­ся в каждом отдельном случае особо. Подробнее этот вопрос рассматривает­ся в разделе «Детали ма­шин». Если не требуется знание уравнения изогну­той линии бруса, а необ­ходимо определить переме­щение отдельного сечения, то для этой цели удобнее всего воспользоваться ме­тодом Мора .

Рассмотрим брус (рис.99, a ), нагруженный неко­торой системой сил Fi, F₂ ..., F_n. Под действием нагрузки ось бруса искри­вится и сечения его пере­местятся в пространстве: пусть сечение а переместит­ся на величину δ. Опреде­лим δ ₁ составляющу перемещения сечения а в нап­равлении 1-1.

Для решения этой зада­чи снимем с бруса нагрузку и в сечении а по направ­лению искомого перемеще­ния δ ₁,  т. е. в направлении  1 - 1  приложим  к   брусу си­лу F' (рис. 99, б). От этой силы в сечениях бруса воз­никнут внутренние сило­вые факторы, в общем случае нагружения их будет шесть: N', Q'_y, Q'_z,M?_t , М'_у, М'_г. Вырезанный из бруса элемент и внутренние силовые фак­торы в его поперечных сечениях показаны на рис. 99, в. Затем, не снимая с бруса силу F', приложим к нему задан­ную нагрузку — силы F₁, F₂, .... F _п. Под действием этой нагрузки брус деформируется и сечение а переместится на величину δ ₁ в направлении 1 -1. Предварительно при­ложенная к брусу сила F' на перемещении   δ₁  совершит работу:

                                              W_e = F′ δ₁ .                                    (a)

Под действием заданной нагрузки выделенный элемент дополнительно деформируется: размер его вдоль оси х увеличится на du, поперечные сечения развернутся относи­тельно осей  х,  у и  z на углы  dQ_x,  dQ_y и  dQ_z соответственно   

 (рис. 99, г). Кроме того, сечения сдвинутся относительно друг друга вдоль осей у и z. Внутренние силовые факторы N', Q'_y, Q'_z, M'_t, М'_у, М'_z  на этих дополнительных перемеще­ниях совершат работу. При ее подсчете обычно пренебре­гают работой, производимой поперечными силами на соответ­ствующих   перемещениях.   Тогда

                             dW_i = N' du + М'_г dφ_z + М'_у dφ_y + M′_t dφ_x.

Чтобы получить полную работу внутренних сил по все­му брусу, это выражение следует проинтегрировать по длине бруса.

         W _i = ∫ N′ du + ∫ M′_z dφ_z + ∫ M′_y dφ_y + ∫ M′_t dφ_x .              (б)

Перемещения, входящие в формулу (б), вызваны дейст­вием заданной нагрузки и связаны с внутренними силовы­ми факторами от нее следующими зависимостями [см. выра­жения (е) § 13 и (д) § 15]:

                        du = N dx /(  E  A ) ;         dφ _z = M _z dx / ( E I _z ) ;

                        dφ _y = M _y dx / ( E I _y ) ;  d φ _x = M _t dx / ( G I _p ).         (в )

При подсчете W_i каждый из внутренних силовых факто­ров совершает работу только на своем перемещении, другие силовые факторы на этом перемещении работы не совер­шают.

Из условия равенства работы внешней силы F' и внут­ренних силовых факторов факторов N', M′_t, М′_у, М'_г на своих перемещениях  следует: W_e = W_i .

Подставляя выражения (а) и (б) в последнее  уравнение с учетом соотношений (в) и принимая с целью упрощения конечного результата F' = 1, получаем формулу для определения пере­мещений, называемую интегралом Мора:

    δ ₁ = ∫ N′ N  dx / ( E A ) + ∫ M′_z M _z dx / ( E I _z ) + ∫ M′_y M _y dx / ( E I _y ) +

                                                 + ∫ M′_t M _t dx / ( G I _p ) ,              ( 55 )

где N', M _t , М'_у,  М'_г—выражения внутренних силовых факторов от единичной нагрузки, a N,  M _t , М_у,  M_z— выра­жения внутренних силовых факторов от заданной нагрузки.

При определении линейного перемещения к брусу при­кладывают единичную силу F' = 1, при определении углового перемещения к брусу необходимо приложить пару сил с моментом   m' = 1.

Если жесткость сечения бруса постоянна в пределах участка длиной l_t и меняется от участка к участку, то фор­мула   (55)   принимает  вид

     δ ₁ = Σ ( 1 / E A ) ∫′N′ N  dx + Σ ( 1 / E I _z ) ∫  M′_z M _z   dx + 

            +  Σ ( 1 / E I_y ) ∫  M′_y M _y dx  +Σ ( 1 / G I _p ) ∫ M′_t M _t  dx.            ( 56 )             

.                         

Если при вычислении интеграла Мора результат полу­чается со знаком плюс, то направление искомого перемеще­ния совпадает с направлением приложенной единичной силы (или пары). Знак минус укажет, что эти направления прямо противоположны.

Процедуру определения перемещений методом Мора можно кратко изложить так: 1) определить внутренние силовые факторы, возникающие в сечениях от заданной нагрузки — N, M_z, M_y и M _t ; 2) приложить к конструкции единичную нагрузку в той точке, где определяется переме­щение и по направлению этого перемещения; 3) найти внут­ренние силовые факторы, создаваемые единичной нагруз­кой — N', М'_г, М'_у и M _t ; 4) подставить найденные значе­ния в (55) или (56) и выполнить интегрирование по всей дли­не  конструкции.