ГЛАВА   2. 6

                              РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ

       § 2.6.1. Коэффициент запаса прочности и условие прочности

Важнейшей задачей расчета конструкции является обеспечение ее прочности в условиях эксплуатации. На­рушением прочности деталей конструкции, как уже было сказано, принято считать возникновение хотя бы в одной точке остаточных деформаций или признаков разрушения.

Механические испытания материалов при растяжении и сжатии, т. е. в условиях одноосного напряженного со­стояния, позволили определить напряжения, при дости­жении которых образец разрушается — σ_и или в нем воз­никают остаточные деформации — σ_у. Эти напряжения принято называть предельными и обозначать σ_Iim. В этом случае оценка прочности сводится к выявлению опасной точки в теле, где возникает наибольшее напряжение, ко­торое будем называть расчетным σ, и в непосредственном сопоставлении этого напряжения с предельным.

Если следовать по указанному пути, то в каждом на­пряженном состоянии для каждого материала нужно иметь соответствующие диаграммы испытания с числовыми характеристиками. Понятно, однако, что действительное разнообразие напряженных состояний, широкая номен­клатура применяемых материалов, отсутствие испытатель­ной техники, позволяющей создать любой вид напряженного состояния, делают такой подход к решению данного во­проса неприемлемым. Поэтому необходимо найти такой путь к решению вопроса об оценке прочности, который бы позволил по экспериментальным данным,   полученным при растяжении и сжатии, проводить оценку   прочности в условиях любого напряженного состояния.

Предварительно введем некоторые понятия, которые понадобятся в дальнейшем и которые широко использу­ются в практике. Если увеличивать пропорционально все компоненты заданного напряженного состояния, т. е. изменять его состояние подобным образом  ( σ ₁ : σ ₂ : σ ₃ = σ′₁ : σ′₂ : σ′₃ ), то рано или поздно оно станет предельным, при котором начнется разрушение или возникнут остаточ­ные деформации. Число, показывающее, во сколько раз следует увеличить все компоненты напряженного состоя­ния, чтобы оно стало предельным, называют коэффици­ентом запаса прочности и обозначают буквой п. Если в двух напряженных состояниях коэффициенты запаса рав­ны, то такие напряженные состояния называют равноопас-ными или эквивалентными. Например, трехосное напря­женное состояние А (рис. 94) равноопасно одноосному напряженному состоянию В, если их коэффициенты за­паса равны. Напряжение при одноосном растяжении, равноопасном заданному напряженному состоянию, называют эквивалентным напряжением и обозначают σ_equ

Одноосное растяжение хорошо изучено эксперимен­тально и для него известны значения предельных напря­жений. Поэтому коэффициент запаса при одноосном на­пряженном состоянии растяжения легко найти по выра­жению                          

                                       s = σ _{lim t} / σ _equ.                                                              ( 38 )

Но тогда в силу равноопасности состояний А и В коэф­фициент запаса при трехосном напряженном состоянии А определяется по тому же выражению. Такой подход к оценке прочности при любом напряженном состоянии ил­люстрируется условной схемой (рис. 95).

Чтобы реализовать эту схему, необходимо связать на­пряжения двух равноопасных состояний определенной зависимостью, т.е. выразить σ _equ через σ ₁, σ ₂  и σ ₃. Для установления этой зависимости выдвигаются различные гипотезы и строятся теории. Не останавливаясь на рас­смотрении всех используемых в настоящее время гипотез и теорий прочности, приведем лишь одну из них, предло­женную О. Мором, которая позволяет оценивать прочность как пластичных, так и хрупких материалов.

Теория прочности Мора. Эта теория всецело опирается на экспериментальные данные. Ее основное допущение, что среднее главное напряжение   σ ₂  не оказывает влияния ь:а прочность.

Допустим, что мы располагаем серией одинаковых образцов и испытательной машиной, на которой образцу можно задать любое напряженное состояние с пропорцио­нальным  изменением  всех   компонентов  напряжения.

Создадим в образце напряженное состояние, характе­ризующееся главными напряжениями σ ₁ и  σ ₃. Затем, уве­личивая пропорционально эти напряжения в п раз, при­дем к предельному для этого напряженного состояния, в результате чего образец либо разрушится, либо в нем появятся остаточные деформации. Предельному напряжен­ному состоянию будут соответствовать напряжения   σ*₁ = sσ ₁   и        σ*₃ = sσ ₃. Это предельное напряженное состояние в системе координат      σ₁, σ₃  изобразится некоторой точкой С (рис.  96).

Далее, создавая в образцах из того же материала дру­гие напряженные состояния, проведем серию аналогичных испытаний. Результаты этих испытаний нанесем на график рис. 96. Каждому испытанию на графике соответствует своя точка. Соединяя эти точки, получим кривую АСВ, которую принято называть кривой предельных состояний.

Нетрудно понять, что изложенная методика расчета требует огромного количества опытов, что делает невоз­можным экспериментальное построение этих кривых. Од­нако на основании немногих имеющихся опытных данных можно полагать, что кривая предельных состояний пред­ставляет собой весьма пологую кривую, которую без существенной погрешности можно заменить прямой, про­веденной через две известные точки В и А. Напряжения в этих точках — предельные напряжения при простом растяжении и сжатии.

Написав уравнение прямой предельных состояний, легко связать между собой предельное состояние, харак­теризуемое напряжениями σ*₁  и  σ*₃,  с предельными напря­жениями растяжения и сжатия.

В координатах   σ ₁  и  σ ₃  уравнение предельных состоя­ний имеет вид

                         σ*₃ = ( σ _{lim c} / σ _{lim t} ) σ*₁ ─ σ _{lim c} .

Если учесть, что  σ*₁ = s σ ₁  и  σ*₃ = s σ ₃, получаем

                       sσ ₃ = ( σ _{lim c} / σ _{lim t} ) s σ ₁ ─ σ _{lim c} .                ( a )

Обозначив k = σ _{lim t} / σ _{lim c}  и решив уравнение (а) относи­тельно s, получаем

                                  s = σ _{lim t} / (  σ ₁ ─ kσ ₃ )                          ( б )

Сравнивая выражения (б) и (38), видим, что по теории Мора

                                 σ _equ = σ ₁ ─ kσ ₃.                              ( 39 )

Выражение (39) устанавливает условие равноопасности между напряжением при одноосном растяжении   σ  _equ   и заданным напряженным состоянием, характеризуемым главными напряжениями σ  ₁  и σ ₃. Наилучшие результаты эта теория дает для случая, когда   σ  ₁ > 0 и σ  ₃  < 0. Это обстоятельство существенно, поскольку при решении практических задач напряженное состояние такого рода встречается чаще других.

Рассмотрим случай упрощенного плоского напряжен­ного состояния (см. рис. 76). В этом случае оказывается удобным определять эквивалентное напряжение   σ  _equ  не через главные напряжения   σ₁ и  σ₃, а через напряжения σ  и т на исходных площадках. Выразив согласно формуле (37) σ ₁ и σ ₂ через σ  и  τ     и подставив в выражение (39), по­лучаем

                                                                                                                           ____________

                               σ _equ = 0,5 ( 1 ─ k ) σ + 0,5 ( 1 + k ) √ σ ² + 4 τ ².             ( 40 )

При использовании этой формулы   σ   должна быть подстав­лена в нее со своим знаком.

Если материал имеет при растяжении и сжатии одина­ковые   характеристики   предельных   напряжений,   т. е.         σ _{lim t} = σ _{lim c} , формула (40) принимает вид

                                                 _____________

                                    σ _equ = √ σ ² + 4 τ ².                         ( 41 )

При одноосном растяжении σ₁= σ, σ₃= 0. Тогда со­гласно выражению (б)

                                     s  = σ _{lim t} /σ.                                   ( 42a )

.                               

В  случае одноосного  сжатия  σ ₁ = 0,   σ ₃ = ─ σ.  Тогда .со­гласно выражению (б)

                                    s = σ _{lim c} / σ.                                  (426)

При чистом сдвиге для материала, имеющего одинако­вые характеристики предельных напряжений при растя­жении и сжатии,

                                       σ _equ = 2 τ                                     (41а)

Чтобы конструкция была прочной, коэффициент запаса должен быть выше единицы. Минимально допускаемые значения коэффициентов запаса устанавливают на основе опыта проектирования и эксплуатации различных кон­струкций; эти значения принято называть допускаемыми (или нормативными) и обозначать  s _adm . Прочность элемента конструкции считается обеспеченной, если его расчетный коэффициент запаса не ниже допускаемого, т. е.

                                                  s ≥ s _adm .                                (43)

Это неравенство называют условием прочности.

Теперь на основании изученного материала сформули­руем общий план оценки прочности бруса при его статиче­ском нагружении.

1.  Устанавливаем опасное или предположительно опас­ные поперечные сечения. Для этого строим эпюры внут­ренних силовых факторов. Найти опасное сечение просто, если в поперечных сечениях бруса возникает лишь один внутренний силовой фактор, например N или M _t, если по­перечное сечение бруса по всей длине постоянно и мате­риал одинаково сопротивляется  растяжению  и  сжатию. В этом случае опасным является то сечение, в котором возникает  наибольший   по  модулю  внутренний  силовой фактор. Однако если какое-либо из указанных условий не соблюдается, то задача осложняется и приходится го­ворить о предположительно опасных сечениях.

2.  Определяем опасные или предположительно опасные точки. Для этого необходимо построить эпюры нормальных и касательных напряжений для предположительно опас­ных сечений, анализируя которые можно установить опас­ные точки,  т. е.  точки,  в  которых  коэффициент запаса наименьший. Однако в большинстве случаев легко обой­тись без построения эпюр напряжений.

3.    Выясняем   характер   напряженного   состояния   в предположительно опасных точках и составляем условия прочности для этих точек. В зависимости от цели расчета определяем  выполнимость   условия   прочности   или  зна­чение   допускаемой   нагрузки,   или   требуемые   размеры поперечного сечения. В последних двух случаях удобно вести  расчет   по   допускаемому  напряжению,   определяе­мому из выражения

                                σ _adm = σ _lim / s _{adm .}                                                                     ( 44 )

В этом случае условие прочности запишется

                                             σ _cal ≤ σ _{adm .}                                                      ( 45 )

При чистом сдвиге согласно (38) и (41а).   s = σ _{lim t} / 2 τ.  Тогда допускаемое напряжение τ _adm = σ _{lim t} / ( 2 s _adm ) или  τ _adm = 0,5 σ _adm Условие прочности при этом запишется

                              τ _cal ≤ τ _adm = 0,5 σ _adm .                                              (45а)

Если при проверочном расчете коэффициент запаса детали значительно выше допускаемого, то это свиде­тельствует о нерациональности конструкции, о перерас­ходе материала. Вместе с тем допускается снижение рас­четного коэффициента или, что равносильно, превышение расчетного напряжения по сравнению с допускаемым до 5%.

 Расчет на прочность при поперечном изгибе. Рассмотрим напряженное состояние в четырех характерных точках сечения mm балки (рис. 97). Анализ показывает, что в крайних точках 1 и 4 сечения касательные напряжения отсутствуют, а нормальные достигают экстремальных зна­чений, т. е. в этих точках возникает одноосное напряжен­ное состояние. В точке 2 на расстоянии у от нейтрального слоя возникают касательное и нормальное напряжения, т. е. элемент находится в уп­рощенном плоском напряжен­ном состоянии. В точке 3 на нейтральном слое нормальное напряжение отсутствует, касательное же достигает мак­симального значения, т. е. элемент находится в состоянии чистого сдвига.

Длительная практика эксплуатации изогнутых балок показывает, что наиболее опасной, определяющей работо­способность конструкции, является точка, наиболее уда­ленная от нейтральной линии (точки 1 и 4). Поэтому под­бор сечения можно вести так же, как и при чистом изгибе, по наибольшим нормальным напряжениям. Однако в случае тонкостенных профилей (например, двутавр, швел­лер), если балка нагружена большими сосредоточенными силами и ее длина невелика или эти силы приложены близко к опоре, появляется необходимость проверить прочность балки и в точке, где полка сочленяется со стен­кой, поскольку здесь возникают значительные как нор­мальные, так и касательные напряжения.

Пример. Проверить прочность полой стальной  ( σ _y = 240 МПа) стойки дорожного знака (рис. 98, а), внеш­ний и внутренний диаметры которой соответственно равны 100 и80 мм. Ветровое давление на знак составляет 1 кПа. Размеры знака 1,8x0,6 м, его нижний край расположен на высоте 2,1 м. Принять  s _adm = 4.

Решение. Приведем распределенные по знаку силы к его центру тяжести. Их равнодействующая F=pA = 103 · 1,8 · 0,6 = 1080 Н. На рис. 97, б представлены эпюры М_b  и M _t. Очевидно, опасным сечением является сечение, рас­положенное в основании стойки, где М _b  = 1080·2,4= =2592 Н-м;  M _t = 1080-0,9=972 Н-м.

Опасными являются точки пересечения силовой линии с контуром сечения, где возникают наибольшие нормаль­ные и касательные напряжения. Вычисляем их по форму­лам (22а) и (30). Для этого находим осевой и полярный моменты сопротивления сечения:

    Z _b = 0,1 d³ [ 1 - ( d _i / d )⁴ ] = 0,1 · 0,1³ ( 1 - 0,08⁴ / 0,1⁴) =  59·10 ^{- 6 м3} ; 

    Z _p = 0,2 d³ [ 1 - ( d _i / d )⁴ ] = 0,2 · 0,1³ ( 1 - 0,08⁴ / 0,1⁴) = 118·10 ^{- 6 м3}.

В опасных точках возникают

                                     σ _cal = M _b / Z _b = 2592 / ( 59 · 10 ^{– 6} ) = 43,9 МПа;

                                     σ _cal = M _t / Z _p = 972 / 118 · 10 ^-6 ) = 8,2 МПа.

Опасные точки в упрощенном плоском напряженном состоянии. Поэтому коэффициент запаса прочности оп­ределяем по формуле (38). Предварительно вычисляем эквивалентное напряжение по формуле (41)

                       ___________        __________________

        σ _equ = √ σ ² + 4 τ ² = √ 43,9 ² + 2 · 8,2 ² = 46,9 МПа.

Коэффициент  запаса   n = σ _y / σ _equ = 240 / 46,9 = 5,1.

Стойка работает со значительной недогрузкой — коэф­фициент запаса выше допускаемого на 28%.