§ 2.4.8. Основы теории  напряжений

Напряженное состояние в точке. Через любую точку тела можно провести бесконечное множество плоскостей и вся­кий раз нормальное и касательное напряжения будут различными как по модулю, так и по направлению. Совокуп­ность нормальных и касательных напряжений для множе­ства площадок, проходящих через рассматриваемую точку, образует напряженное состояние в точке.

Предположим, что в окрестности исследуемой точки выделен бесконечно малый элемент, имеющий форму куба, и напряжения, возникающие на его гранях, известны. Каждое из этих напряжений может быть разложено на три составляющих, параллель­ных координатным осям. Таким образом, в общем случае на трех исходных площадках возникают девять составляющих напряже­ний (рис. 74):

  σ_x, σ_y,  σ_{z ,} τ _{xy ,} τ _{yx ,}τ _{xz ,}  τ _{zx ,}  τ _yz,  τ _{zy .}

Индекс у   σ   указывает ось, параллельно которой напряже­ние направлено; составляющая  τ   имеет два индекса: первый ука­зывает, какой оси параллельна нормаль площадке возникнове­ния рассматриваемого напряже­ния, второй — какой оси это напряжение параллельно. Например,   σ_x — нормальное напряжение, направленное параллельно оси х;    τ _xy  касательное напряжение на грани нормальной оси х и направленное параллельно оси у. Нормальные растягивающие напряжения   σ   считают поло­жительными, сжимающие — отрицательными. Что касается знака напряжений   τ, то обусловливать его не будем, по­скольку в пределах рассматриваемых ниже задач знак   τ  роли не играет.

При исследовании напряженного состояния считают, что в пределах элементарного объема при переходе от грани куба к ей параллельной напряжения остаются по­стоянными и по граням распределяются равномерно.

Система сил, приложенных к выделенному элементар­ному кубу, должна удовлетворять условиям равновесия. Для получения сил необходимо каждое из напряжений умножить на площадь грани, на которой оно возникает. Например, нормальная сила, возникшая на площадке, перпендикулярной оси х, равна   σ_xdA. Поскольку на про­тивоположных гранях возникают равные и противопо­ложно направленные силы, то сумма проекций всех сил на оси х, у и г равны нулю независимо от значений возни­кающих напряжений. Составим уравнение моментов сил относительно оси х. При составлении этого уравнения легко обнаружить, что момент каждой силы уравновеши­вается моментом противоположной силы, расположенной на невидимой грани. Исключение составляют касательные силы   τ _yzdA и   τ _zydA. Тогда   τ _zydA—  τ _yzdA=0. Подобным образом запишутся уравнения моментов сил и относительно осей у и г. Из этих уравнений следует   τ _ху=  τ _ух;   τ _yz=            = τ _zy  ;    τ  _гх=   τ _xz, т. е. на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикуляр­ные общему ребру, равны и направлены либо к ребру, либо от ребра. Это положение известно под названием закона парности касательных напряжений.

Таким образом, напряженное состояние в точке опреде­ляется шестью независимыми составляющими напряжений    σ_x, σ_y,  σ_{z ,} , τ_xy = τ_yx,  τ_{y z}= τ_zy,  τ_zx=τ_xz, возникшими на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через эту точку. С помощью этих шести составляющих можно определить напряжения на любой другой площадке и исследовать вопрос об экстремальности напряжений.

Среди бесчисленного множества площадок, которые можно провести через исследуемую точку, имеются три взаимно перпендикулярные площадки, нормальные на­пряжения на которых принимают экстремальные значения, а касательные напряжения отсутствуют. Эти площадки принято называть главными площадками, а нормальные напряжения на них — главными напряжениями. В по­рядке возрастания эти напряжения обозначают через σ₃, σ₂ и σ₁ . .Например, если одно из главных напряжений равно нулю, другое растягивающее — 20 МПа, а третье сжимающее — 80 МПа, то их следует обозначить: σ₁ = 20 МПа, σ₂ = 0, σ₃ = - 80 МПа.

В зависимости от наличия главных напряжений, от­личных от нуля, различают: объемное напряженное состоя­ние, если все три главные напряжения отличны от нуля; плоское напряженное состояние, если два главных напря­жения отличны от нуля, и линейное (одноосное) напряжен­ное состояние, если отлично от нуля одно главное напря­жение.

Следует добавить, что различают однородное и неодно­родное напряженные состояния. При однородном напряжен­ном состоянии напряжения одинаковы в каждой точке какого-либо сечения и во всех параллельных ему сече­ниях. Поэтому в этом случае размеры выделяемых элемен­тов не играют никакой роли. При неоднородном напряжен­ном состоянии напряжения различны в каждой точке произвольного сечения. В этом случае вокруг исследуемой точки необходимо выделять бесконечно малый объем, что обеспечит с достаточной точностью предположение о рав­номерности распределения напряжений по граням элемен­та. Поэтому при исследовании напряженного состояния тела в данной точке принято всегда выделять вокруг нее бес­конечно малый объем.

Исследование напряженного состояния, когда положение од­ной главной площадки известно. Этот случай — наиболее общий для задач, которые здесь рас­сматриваются.

Рассмотрим элементарный куб, вырезанный в окрестности исследуемой точки        (рис. 75, а). Пусть его грань, совпадающая с плоскостью рисунка, свободна от напряжений, а на двух дру­гих площадках имеются напря­жения   

σ_х, σ_у  и  τ_ху = τ_yx = τ.

Установим зависимости, поз­воляющие определить нормаль­ное и касательное напряжения на произвольной площадке. Для этого, применяя метод сечений,  рассекаем выделенный элементарный   куб   наклонной плоскостью,   перпендикулярной грани, свободной от напряжений (рис. 75,6).

Вектор полного напряжения, возникшего на наклонной площадке, разложим на составляющие s_x и s_y, направлен­ные параллельно осям х и у. Составим уравнения равно­весия для полученного трехгранного элемента, просумми­ровав проекции внутренних сил, возникших на его гра­нях, на оси х и у. При этом обозначим площадь наклонной грани через dA, тогда площадь грани О А будет dA cos a, а грани OB —    d A sin a. Для получения сил умножим каж­дое из напряжений на площадь грани, на которой оно возникает.  Уравнения  равновесия  примут вид:

                       ΣF_x = s_xdA ─ σ_xdA cosα ─ τdA sinα = 0;

                       ΣF_y = s_ydA ─ σ_ydA sinα ─ τdA cosα = 0,

Откуда

                                      s_x = σ_x cosα + τ sinα ;

                                      s_y = σ_y sinα + τ cosα.                            ( a )

Спроектировав составляющие s_x  и  s_y  на нормаль к пло­щадке и на направление наклонной площадки, получаем

                                     σ_α  = s_x cosα + s_y sinα;

                                      τ_α  =  s_x sinα ─ s_y cosα.                         ( б )

Подставив из выражения (а)  s_x и  s_y  в зависимость (б), окончательно получим:

                                  σ_α  = σ_x cos²α + σ_y sin²α + τ sin 2α;                       ( 33 )

                                      τ_α  = 0,5 ( σ_x ─ σ_y ) sin 2α ─ τ cos 2α.                    ( 34 )

По формулам (33) и (34) можно определить составляющие напряжения σ_а и τ _а в любой наклонной площадке при из­вестных напряжениях σ_х,   σ_у и   τ, т. е. исследовать   напряженное состояние в точке.

Главные напряжения. Теперь покажем, что действитель­но на главных площадках, т. е. площадках, на которых возникают экстремальные нормальные напряжения, от­сутствуют касательные напряжения и что главные пло­щадки взаимно перпендикулярны. Для этого приравняем нулю  первую  производную напряжения   σ_а  по  углу 

α:

                 dσ_α /dα  =  ─ σ_х2 sinα cosα + σ_у2 sinα cosα + τ 2 cos 2α

или

              ( dσ_α  / dα ) _{α = α o}  = ─ 2 [ 0,5 ( σ_x ─ σ_y  ) sin 2α₀ ─ τ cos 2α₀ ] + 0.         ( в )

Здесь  σ_а  — углы наклона главных площадок к площадке, на которой возникает напряжение σ_х. Сравнивая послед­нее выражение с (34), устанавливаем, что

               ( dσ_α / dα ) _{α = α o} = ─ 2 τ_{α o} = 0   или   τ_{α o} = 0,

т. е. на главных площадках касательные напряжения от­сутствуют.

Решим уравнение (в) относительно угла α:

                             tg 2a_o = 2τ / ( σ_x ─ σ_y ).                       (35)

Полученная формула дает два значения угла 2a_o, отли­чающихся друг от друга на   π ,     т. е. для угла   a_o получа­ются два значения, различающихся на   π / 2. Следовательно, главные площадки взаимно перпендикулярны.

Для определения значений главных напряжений пред­варительно по формулам из тригонометрии, используя выражение (35), найдем

                                                   _____________                                      _____________________

         cos 2α₀ = ± 1 / √ 1 + tg²2α₀  =  ± ( σ_x ─ σ_y ) / √ ( σ_x ─ σ_y )² + 4τ²  ;

                                                                                                                        _____________________

      cos²α₀ = 0,5 ( 1 + cos 2α₀ ) = 0,5 [ 1 ± ( σ_x ─ σ_y ) / √ ( σ_x ─ σ_y )² + 4τ²  ] ;

                                                                                                                      _____________________

      sin²α₀ = 0,5 ( 1 ─ cos 2α₀ ) = 0,5 [ 1 − ( σ_x ─ σ_y ) / √ ( σ_x ─ σ_y )² + 4τ²  ] ;

                                                                                  _____________________

      sin 2α₀ = tg 2α₀ cos 2α₀   =  ± 2τ  / √ ( σ_x ─ σ_y )² + 4τ²  .

Подставив эти выражения в (33), после простых преобра­зований получим выражения главных напряжений

                                                                           ______________________

              σ′ =  0,5 ( σ_x + σ_y ) + 0,5√ ( σ_x ─ σ_y )² + 4τ²   ;

                                                                             ______________________.                                             ( 36 )

              σ" =  0,5 ( σ_x + σ_y ) ─ 0,5√ ( σ_x ─ σ_y )² + 4τ²   ;

После того как напряжения σ′ и σ"  найдены, они со­поставляются с величиной σ_z и переименовываются на σ₁, σ₂  и  σ₃ в порядке убывания.

Аналогичным образом приравняв нулю производную dτ_α / dx , можно показать, что касательные напряжения до­стигают максимальных значений на площадках, поверну­тых по отношению к главным на 45°.

Упрощенное плоское напряженное состояние. Так при­нято условно называть частный случай напряженного состояния, при котором лишь по одной грани возникает нормальное напряжение, отличное от нуля (рис.  76, а).

Для определения главных напряжений подставим в (36) значения   σ_х = σ;  σ_у = 0 . Тогда

                                                                         _____________

                           σ′ = 0,5 σ + 0,5 √ σ² + 4 τ² ;

                                                                          _____________

                           σ"= 0,5 σ ─ 0,5 √ σ² + 4 τ² ;

Из  полученных выражений очевидно, что напряжение  σ′  всегда   положительно,   а   σ"  всегда   отрицательно.   Поэтому в соответствии с правилом, согласно которому     σ₁  ≥ σ₂ ≥ σ₃, напряжение σ′ следует обозначить σ₁, а напря­жение   σ" ─ σ₃.  С  учетом  сказанного  (см.   рис.   76,6)

                                                                          _____________

                           σ₁ = 0,5 σ + 0,5 √ σ² + 4 τ² ;

                           σ₂ = 0;                                                                ( 37 )                                                          

                                                                           _____________

                           σ₃ = 0,5 σ ─ 0,5 √ σ² + 4 τ² .

Чистый сдвиг. Это такой случай плоского напряженного состояния, для которого отличные от нуля главные напря­жения равны по модулю и противоположны по знаку     σ₁ = ─ σ₃  (рис. 77, a) ( σ₁ — растягивающее напряжение, σ₃ — сжимающее напряжение).

Максимальное касательное напряжение возникает, как это уже объяснялось, на площадках, наклоненных к  главным   под   углом   45°.   Применяя   метод сечений, рассечем выделенный элемент наклонной плоскостью, пер­пендикулярной грани свободной от напряжения и накло­ненной к другим главным площадкам под углом        ?   = 45° или 135°, как показано на рис. 77,6. Составив уравнение равно­весия, спроектировав все силы на оси t и n, получим  τ_max= σ₁ = ─ σ₃  и  σ_{α = 45} = σ_{α =135} = 0-  Таким образом, при чистом сдвиге на площадках действия максимальных касатель­ных напряжений нормальные на­пряжения отсутствуют. Отсюда возможно и другое определение: чистым сдвигом называют такое напряженное состояние, при кото­ром в окрестности данной точки можно выделить элемент таким образом, чтобы на его четырех гра­нях были только касательные нап­ряжения, а остальные две грани были от напряжений свободны (рис. 77, в). Это определение мож­но рассматривать как объяснение названия, принятого для данного напряженного состояния.