§ 2.4.7.  Определение касательных   напряжений при кручении 

         Кручение вала круглого поперечного сеченияю  Рассмотрим консольный брус круглого поперечного сечения, нагруженный парой с моментом т, плоскость действия которой перпендикулярна оси бруса (рис. 69, а). Применяя метод сечений, устанавливаем, что в поперечных сечениях возникает только крутящий момент M_t  (рис. 69, б), т. е. брус находится в условиях кручения. Принято брус, «работающий на кручение», называть валом.

Выше было установлено, что крутящий момент связан с   касательными напряжениями   в   сечении   следующей интегральной   зависимостью:

M _t = ∫ ρdA.             ( a )

                                                                                                                                                                                                                                                    ( a )

                                                              Д ля установления закона распределения    касательных

напряжений по поперечному сечению при кручении вы­делим из вала двумя бесконечно близкими поперечными сечениями элемент длиной dx и рассмотрим его деформа­цию (рис. 70). Из выделенного элемента вырежем цилиндр (на рис. 70 он изображен сплошной линией) с радиусом основания    ρ   и обозначим на его поверхности до дефор­мации прямоугольник abcd. После деформации правое сечение элемента повернется на угол dφ_x по отношению к левому и прямоугольник abcd превратится в параллело­грамм a'b'cd, прямые углы исказятся на γ, линейные раз­меры прямоугольника в силу малости деформации не из­менятся. Рассматривая   Δb0b' , видим, что bb'= dφ_x ρ, a рассматривая Δbcb', найдем bb' = dx tgγ ≈ dx γ. Тогда, приравнивая, dx γ =   dφ_x ρ,  получим

           γ = ( dφ_x / dx ) ρ.               (б)

Согласно закону Гука (15) и (б) имеем 

     τ  = G γ = G (dφ_x / dx ) ρ.         ( в )

Равенства (б) и (в) показывают, что деформация сдвига и касательное напряжение связаны линейным законом с расстоянием по радиусу от центра поперечного сечения вала и достигают максимальных зна­чений на его внешней поверхности. Распределение напряжения представ­лено на рис. 71 треугольной эпюрой напряжений.

Подставляя выражение (в) в интег­ральную  зависимость (а),   получаем

                                M _t = ∫ G ( dφ_x / dx ) ρ² dA.

При интегрировании по площади поперечного сечения величина   dφ_x / dx постоянна и так же, как и G, может быть вынесена за знак интеграла. Тогда

                              M _t = G  (dφ_x / dx ) ∫ ρ² dA                               ( г )

Интеграл, входящий в выражение (г), согласно формуле (4), представляет собой полярный момент инерции 1_Р. Отсюда

                                 M _t = G (dφ_x / dx ) I_p

Или

                                    dφ_x / dx = M _t / ( G I _p ).                        ( д )

Подставляя (д) в (в), получим

                                     τ = ( M _t / I _p ) ρ                                        ( 29 )

Эта формула позволяет определить значение касательного напряжения в любой точке поперечного сечения. В точ­ках, равноудаленных от центра сечения, напряжения т одинаковы. Наибольшего значения касательные напряжения достигают в точках контура поперечного сечения. Они могут быть определены путем подстановки в формулу (29) вместо р его наибольшего значения, т. е. r:

                             τ_max  = ( M _t / I _p ) r.

Вводя обозначение Z_p = I_p/r, получаем формулу для определения значения максимального касательного на­пряжения:

                               τ _max =  M _t / Z _p .                                            ( 30 )      

Величину Z_p принято называть полярным моментом со­противления.  Для   круга   Z_p=0,2d³;  для   кольца   Z_p =        = 0,2 d_e³ ( 1 - d⁴ / d_e⁴ ).

Формулу для определения угла закручивания элемента вала длиной  dx  в радианах получим из выражения (д):

                                      dφ_x = [ M _t / ( G • I _p ) ] dx

Произведение  ( G • I _p ) называют жесткостью сечения круглого вала при кручении. Суммируя элементарные углы закру­чивания, найдем полный угол закручивания вала

                                   φ _x = ∫   [M _t / ( G • I _p ) ] dx.

Если диаметр вала постоянен и крутящий момент во всех сечениях одинаков, то

                               φ_x =  M _t l / ( G I_p ).                                           (  31 )

В случае постоянства крутящего момента лишь в пределах отдельных участков вала или ступенчатого изменения его поперечного сечения угол закручивания можно найти как алгебраическую сумму углов закручивания, вычисленных по формуле (31) для каждого участка в отдельности .

Кручение вала прямоугольного поперечного сечения. В практике довольно часто кручению подвергаются валы не круглого, а, например, прямоугольного сечения. Оп­ределение напряжений в этом случае представляет собой довольно сложную задачу, которая не может быть решена методами сопротивления материалов. Здесь гипотеза пло­ских сечений оказывается неприемлемой — сечения вала заметно искривляются. В этом легко убедиться, если взять резиновый брус прямоугольного поперечного сечения и нанести на его поверхность сетку продольных и попереч­ных рисок(рис.72,a). При скручивании поперечные линии сетки заметно искривляются (рис. 72, б), следо­вательно, искривляются поперечные сечения.

На рис. 73 показана полученная методами теории упругости эпюра касательных напряжений прямоуголь­ного сечения. В его углах напряжения равны нулю, а наибольшие касательные напряжения возникают в точ­ках, лежащих в серединах больших сторон сечения, и определяются по формуле

                             τ _max = M _t / Z _t,                                                ( 32 )

где Z_t = ahb². — момент сопротивления сечения при кру­чении. Касательные напряжения посередине коротких сторон

                                                          τ' = ητ_max

Коэффициенты   α  и  η  зависят от отношения сторон a / b. Значения этих коэффициентов:

   alb    1        1,5      2          2,5       3           4           6         8         10        оо

 α          0,208    0,231  0,246   0,258   0,267    0,282   0,299   0,307    0,313   0,333                                 

 η         1,000    0,859  0,795   0,766   0,753    0,745   0,743   0,742    0,742   0,742