§ 2.4.6. Определение касательных напряжений при поперечном изгибе

Как уже было установлено выше, при поперечном из­гибе наряду с изгибающим моментом в сечении бруса воз­никает поперечная сила. Наличие поперечной силы связано с возникновением в поперечном сечении касатель­ного напряжения. Впервые задача по определению каса­тельных напряжений в балках была решена Д. И. Журавским . Им было установлено, что касательные напряже­ния при изгибе распределяются по высоте сечения не равномерно. Также им была получена формула для под­счета этих напряжений, которая носит название формулы Журавского:

                                             Q _y S_z^отс

                                     τ =   ——————                                                 ( 28 )

                                                I_z b

Здесь Q_y — поперечная сила в рассматриваемом сечении; 1_г — момент инерции поперечного сечения относительно оси г;   b — ширина сечения на уровне исследуемой точки;  S _z^отс  — статический момент относительно оси z части поперечного сечения, рас­положенной по одну сто­рону от прямой, проведен­ной через исследуемую точку параллельно оси г. (Эта часть сечения заштри­хована на рис. 66.)

В основу вывода этой формулы положено допу­щение о равномерном рас-

JUlV-.Iirj.V-    \J     pUDUVSlvlV'L/Al.WlTl

пределении касательных напряжений по ширине сечения. Это допущение обеспечивает достаточную точность форму­лы при ширине сечения меньшей его высоты. Так, при отношении  b : h = 1 отклонение от равномерного распре­деления составляет 12,6%, а при  b : h = 0,5 — лишь 3,3%. Для того чтобы определить, как изменяется касатель­ное напряжение  τ  в зависимости от расстояния у₁ от нейт­ральной оси, нужно исследовать изменение статического момента в зависимости от у₁, поскольку Q, I и b для се­чения постоянной ширины являются постоянными. Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 66) статиче­ский момент заштрихованной площади относительно оси z

            S _z ^отс = b ( h/2 - y₁ ) [ y₁ + (  h / 2 - y₁ )  / 2] = ( b / 2 ) [ ( h² / 4 ) - y₁² ].

Подставив это выражение в формулу (28), получим

              τ  = 0,5 ( Q_y / I_z) ( h² / 4  - y₁² ).

Из этой формулы видно, что касательное напряжение из­меняется в зависимости от у₁ по закону параболы (рис. 66). Это напряжение равно нулю при y₁ = ±h/2 и достигает максимума на оси z при y₁ = 0:

                       τ_max = Qy h² / ( 8 I_z ) = 3 Q_y / (2 A );

здесь  I = b h³ / 12 ;  A=bh.

Когда брус имеет круговое поперечное сечение, то касательные напряжения, лежащие в точках контура попепечного сечения, направлены по касательной к этому контуру (рис. 67). На оси z   касательные   напряжения параллельны оси у , постоянны по всей ширине сечения  и   τ_max = 4 Q / 3 A.

Пример. Построить эпюру изменения касательных напряжений по высоте поперечного сечения двутаврового бруса (рис. 68), если поперечная сила Q₁,=10 кН.

Решение. Для построения эпюры касательных напря­жений вычислим  ?  в нескольких характерных точках: а) в крайних волокнах (по линии / — 1);  б) в месте сопря­жения полки со стенкой, причем будем считать, что точки линий 2 — 2 и 3 — 3 расположены бесконечно близко к границе полки, но лежат по разные ее стороны;   в) в точках на оси z .

Для точек линии 1- 1 напряжения   τ = 0 . Для точек линии 2 — 2 статический момент равен статическому моменту полки относительно оси z. Согласно (1а):

                                S _z^отс  = 55•10^-3•70•10^-3 • 10 • 10^-3 = 38,5•10^-6 м^{3 .}

Вычисляем момент инерции сечения относительно глав­ной центральной оси г. Сечение рассматриваем как состоящим из трех частей: стенки  I и двух полос II. Определяем моменты инерции относительно собственных центральных осей:

                 I_z^I = 0,5 • 10³ / 12 = 41,6 см⁴;    I_z2^II = 7 • 13 / 12 = 0,6 см⁴ .

Согласно (7) момент инерции второй части сечения отно­сительно оси z:

                    I_z^II = I_z2^II + d₂² A = 0,6 + 5,5² • 7 • 1 = 212,4 см⁴ .

Теперь по (8)

              I_z = I_z^I + 2 I_z^II = 41,6 +2 • 212,4 = 466см⁴ = 4,66 • 10-6 м4.

Касательные напряжения вычисляем по (28):

        τ₂ =  10 • 10³ • 38,5 • 10^-6 / ( 4,66 • 10^-6 • 70 • 10^-3 ) = 1,2 • 10⁶ Па = 1,2 МПа.

Для точек 3 — 3 статический момент остается прежним, но ширина сечения изменилась. Поэтому касательное напряжение в этих точках

            τ₃  =  10 •10³ • 38,5 • 10^-6  / ( 4,66 • 10^-6 • 5 • 10^-3 ) = 16, 5 • 10⁶ Па = 16,5 Мпа.

 Следовательно, при переходе от точек линии 2 — 2 к точкам линии 3 — 3 касательные напряжения резко воз­растают.

Для точек на оси z статический момент следует взять для половины сечения:

          S = 55 •10^-3 • 70 • 10^-3 • 10 • 10^-3 + 25 • 10^-3 • 5 • 10^-3 • 50 • 10^-3 =  44,75 • 10^-6 м³.               .              

       Тогда

      τ _max =  10• 10³ •44,75 • 10^-6 / ( 4,66 • 10^-6 • 5 • 10^-3 ) = 19,2 • 10⁶ Па = 19,2 МПа.

На основании этих данных строим эпюру т (см. рис. 68).

 В силу принципа Сен-Венана действительные значения касательных напряжений в точках перехода от полки  к стенке отличаются от вычисленных.